Question

已知等差数列{a n }满足：a 3 =5，a 4 +a 8 =22．{a n }的前n项和为s n ．（1）求数列{a n }的通项公式；

已知等差数列{a n }满足：a 3 =5，a 4 +a 8 =22．{a n }的前n项和为s n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求使得s n ＞5n成立的最小正整数n的值．（3）设c n =（-1） n+1 ?a n ?a n+1 ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵a 4 +a 8 =22，∴a 6 =11，∴a 6 -a 3 =3d=11-5=6，∴d=2，∴a 1 =1，∴a n =2n-1． …（3分） （2） s n = n(2n-1+1) 2 = n 2 ，∴n 2 ＞5n，故n的最小正整数为6．…（6分） （3）c n =（-1） n+1 （2n-1）（2n+1）=（-1） n+1 （4n 2 -1）= 4 n 2 -1(n为奇数) 1-4 n 2 (n为偶数) …（8分） ①n为奇数时，Tn=（4×1 2 -1）+（1-4×2 2 ）+（4×3 2 -1）+（1-4×4 2 ）+…+4n 2 -1=-4（2 2 -1 2 +4 2 -3 2 +…+（n-1） 2 -（n-2） 2  ）+4n 2 -1 =-4（3+7+11+…+2n-3）+4n 2 -1=2n 2 +2n-2，…（10分） ②n为偶数时，Tn=（4×1 2 -1）+（1-4×2 2 ）+（4×3 2 -1）+（1-4×4 2 ）+…+1-4n 2 =-4（2 2 -1 2 +4 2 -3 2 +…+（n） 2 -（n-1） 2 ） -4（3+7+11+…+2n-1）=-2n 2 -2n，…（12分） ∴ T n = 2 n 2 +2n-2(n为奇数) -2 n 2 -2n(n为偶数) ．…（14分）