如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接AF,BE,试判
如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接AF,BE,试判断四边形AFBE的形状并说明理由....
如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接AF,BE,试判断四边形AFBE的形状并说明理由.
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解答:证明:(1)证法一:如图:
记EF与AC交点为G,EF与AB的交点为M.
由(1)证得四边形ABCD为菱形,
所以对角线AC平分∠A,
即∠BAC=∠DAC.
又∵EF⊥AC,AG=AG,
∴△AGM≌△AGE,∴AM=AE.(6分)
又∵E为AD的中点,四边形ABCD为菱形,
∴AM=BM.∠MAE=∠MBF.
又∵∠BMF=∠AME,
∴△BMF≌△AME.
∴BF=AE.
∴BF=DE.(8分)
证法二:如图:连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE.(8分)
(2)∵AD∥BC,AE=ED=BF(已知),
∴四边形AEBF为平行四边形.
记EF与AC交点为G,EF与AB的交点为M.
由(1)证得四边形ABCD为菱形,
所以对角线AC平分∠A,
即∠BAC=∠DAC.
又∵EF⊥AC,AG=AG,
∴△AGM≌△AGE,∴AM=AE.(6分)
又∵E为AD的中点,四边形ABCD为菱形,
∴AM=BM.∠MAE=∠MBF.
又∵∠BMF=∠AME,
∴△BMF≌△AME.
∴BF=AE.
∴BF=DE.(8分)
证法二:如图:连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE.(8分)
(2)∵AD∥BC,AE=ED=BF(已知),
∴四边形AEBF为平行四边形.
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