Question

如图，在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°

Answer 1

本题关键是找准特例，规避三角形顶点。特例是等腰三角形

1。等腰⊿ABC中，AB=AC>BC,.延长AB到D，使BD=BC.作AD中点E,则点E在线段AB上。作AC中点F，连接 EF，EF即为平分⊿ABC周长的直线。

2。等腰⊿ABC中，AB=AC<BC,.延长AB到D，使BD=BC.作AD中点E,则点E在线段BD上。在BC上截取点G，使BG=BE.作AC中点F，连接 GF，GF即为平分⊿ABC周长的直线。

至此，等腰⊿的情形全部作出。

等边三角形的时候，只需找出三角形的中心点O，通过O的任意直线都符合题意。

非等腰三角形的方法类似等腰时候的作法，不必考虑AD的中点E和B重合了。
补充：
做线段中点属于常规的尺规作图，方法很多，不赘述了。
补充：
等边三角形ABC，设AD为高线，D在BC上，为规避顶点，在BD上取点F，在AC上截取点G使AG=DF，连接GF，GF即为符合题意的直线。

第一次的等边三角形写的着急了，这次是正确作法
追问：
普通三角形可以吗？
回答：
当然了 。普通三角形AB,AC,BC各不相等，用上面的方法，延长AB到D，使BD=BC，作AD中点E,无论E在AB上还是BD上，我们都不必担心E与B点重合。当AC>BC，用方法1；AC<BC用方法2.
补充：
当AB>BC，用方法1；AB<BC用方法2.

Answer 2

解答：
过D点分别作BC、BA的延长线的垂线，垂足分别为H、G点，
由角平分线定理得：DH=DG，
又DC=DA，
∴直角△DHC≌直角△DGA﹙HL﹚，
∴∠C=∠GAD，
而∠GAD与∠BAD为邻补角，
∴∠A＋∠C=180°。