Question

已知f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)且对x＞0时.f(x)＞0,f(x)

1.判断f(x)的单调性。2.求f(x)在[－4,4]上的最大最小值。
加个条件 f(1)=1

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y)
所以有:f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以,函数是奇函数.
设x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0
即f(x)是增函数.
f(4)=f(2)+f(2)=4f(1)=4
f(-4)=-f(4)=-4
所以,在[－4,4]上的最大值是f(4)=4,最小值是f(-4)=-4