Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A、B，且12a+5c=0。 （1）求抛物线的解析式；（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。①移动开始后第t秒时，设S=PQ 2 （cm 2 ），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）， ∵A点在抛物线上， ∴C=-2， ∵12a+5c=0， ∴a= ， 由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1， 即： ， ∴抛物线的解析式为：扒滚 ； （2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t， ∴S=PQ 2 =PB 2 +BQ 2 =（2-2t） 2 +t 2 ，即S=5t 2 -8t+4（0≤t≤1）； ②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形， ∵S=5t 2 -8t+4（0≤t≤1）， ∴S= （0≤t≤1）， ∴当t= 时，S取得最小值 ， 这时PB=2- =0.4，BQ=0.8，P（燃此磨1.6，-2），Q（2，-1.2） 分情况讨论： A】假设R在BQ的右边，这时QR平行且等于PB，则： R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2） 代入 ，左右两边相等， ∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意； B】假设R在BQ的左边，这时PR平行且等于QB，则： R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2） 代入 ，左右两边不相等，R不在抛物线上； C】假设R在PB的下方，这时PR平行且皮斗等于QB，则： R（1.6，-2.4） 代入 ，左右不相等，R不在抛物线上； 综上所述，存点一点R（2.4，-1.2）满足题意。