Question

已知椭圆长轴的左右端点分别为A，B，短轴的上端点为M，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且 · ＝1，｜

已知椭圆长轴的左右端点分别为A，B，短轴的上端点为M，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且 · ＝1，｜ ｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（Ⅰ）椭圆方程为 ；（Ⅱ）满足题意的直线存在，方程为： .

试题分析：（Ⅰ）求椭圆的标准方程,可采用待定系数法求方程, 设椭圆方程为 ，利用条件求 的值,从而得方程,因为｜ ｜＝1,即 ,再由 · ＝1,写出 , 的坐标,从而求出 的值,可得方程;（Ⅱ）此题属于探索性命题,解此类问题，一般都假设成立，作为条件，能求出值，则成立，若求不出值，或得到矛盾的结论，则不存在，此题假设存在直线 符合题意，设出直线方程，根据直线与二次曲线位置关系的解题方法，采用设而不求的解题思维，设 的坐标，根据根与系数关系，来求出直线方程，值得注意的是，当方程不恒有交点时，需用判别式讨论参数的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，则椭圆方程为 ； （Ⅱ）假设存在直线 符合题意。由题意可设直线 方程为： ，代入 得： ， ，设 ，则 ， ，    解得： 或  ， 当 时， 三点共线，所以 ，所以 ，所以满足题意的直线存在，方程为： .