如图,已知:椭圆M的中心为O,长轴的两个端点为A、B,右焦点为F,AF=5BF.若椭圆M经过点C,C在AB上的射影

如图,已知:椭圆M的中心为O,长轴的两个端点为A、B,右焦点为F,AF=5BF.若椭圆M经过点C,C在AB上的射影为F,且△ABC的面积为5.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)... 如图,已知:椭圆M的中心为O,长轴的两个端点为A、B,右焦点为F,AF=5BF.若椭圆M经过点C,C在AB上的射影为F,且△ABC的面积为5.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,试证明:当点P(m,n)在椭圆M上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围. 展开
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(Ⅰ)由题意设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,半焦距为c,
由AF=5BF,且AF=a+c,BF=a-c,∴a+c=5(a-c),得2a=3c.(1)
由题意CF⊥AB,设 点C坐标(c,y),C在M上,
代入得y2b2(1?
c2
a2
)=
(a2?c2)2
a2

y=
a2?c2
a
. 由△ABC的面积为5,
1
2
?2a?
a2?c2
a
=5
,a2-c2=5.(2)
解(1)(2)得a=3,c=2.
∴b2=a2-c2=9-4=5.
∴所求椭圆M的方程为:
x2
9
+
y2
5
=1

(Ⅱ) 圆O到直线l:mx+ny=1距离d=
1
m2+n2

由点P(m,n)在椭圆M上,则
m2
9
+
n2
5
=1

显然m2+n2
m2
9
+
n2
5

∴m2+n2>1,
m2+n2
>1,
∴d=
1
m2+n2
<1,
而圆O的半径为1,直线l与圆O恒相交.
弦长t=2
1?d2
=2
1?
1
m2+n2

m2
9
+
n2
5
=1
n2=5(1?
m2
9
)

1
m2+n2
9
4m2+45
,t=2
1?
9
4m2+45

∵|m|≤a,∴0≤m2≤9,45≤4m2+45≤81,
4
5
≤1?
9
4m2+45
8
9

弦长t的取值范围是[
4
5
5
4
2
3
].
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