Question

如图，P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点．（1）求证：PB+PC＞AB+AC；（2）若P是△ABC的∠BAC的平分线

如图，P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点．（1）求证：PB+PC＞AB+AC；（2）若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC＞AB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系？

Answer 1

（1）证明：在BA延长线上截取AD=AC，连接DP，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAP=∠CAP，
在△ADP和△ACP中，

AD＝AC ∠DAP＝∠CAP AP＝AP

，
∴△ADP≌△ACP（SAS），
∴PC=PD，
在△BPD中，PB+PD＞BD=AB+AD，
∴PB+PC＞AB+AC；
（2）解：如图所示：在AC上截取AE=AB，连接PE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP，
在△ABP和△AEP中，

AB＝AE ∠BAP＝∠EAP AP＝AP

，
∴△ABP≌△AEP（SAS），
∴BP=EP，
在△PEC中，PE+PC＞EC，即PB+PC＞EC=AC-AE=AC-AB．