Question

（2012?香洲区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于

（2012?香洲区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=4，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求AC的长；（2）求CE：AE的值；（3）在CB的延长线上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）过点O作OF⊥AC于点F．则AF=CF（垂径定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形内角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角），
∴AF=OA?cos∠OAF=2×

3

2

=

3

，
∴AC=2AF=2

3

；

（2）如图：连接OC．由（1）知，∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°．
则在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，CE=a，
∴

CE

AE

=

a

2a

=

1

2

；

（3）直线PA和⊙O相切于点A．理由如下：
由（2）知，

CE

AE

=

1

2

．
∵PB=2BC，
∴

BC

PB

=

1

2

．
∴

EC

AE

=

BC

PB

=

1

2

，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O为半径，
∴PA切⊙O于点A．