Question

已知△ABC，AB=BC，∠ABC=90゜，E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE，连CF．（1）如图1，若点E在线段BC上，

已知△ABC，AB=BC，∠ABC=90゜，E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE，连CF．（1）如图1，若点E在线段BC上，求∠FCE的度数；（2）如图2，若点E在CB的延长线上，求∠FCE的度数；（3）如图3，若点E在BC的延长线上，完成作图，并直接写出∠FCE的度数．

Answer 1

（1）如图1，过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于M，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△ABE和△EMF中，

∠BAE＝∠MEF ∠B＝∠M＝90° EF＝AE

，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=MF，AB=EM，
∵AB=BC，
∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE，
∴CM=MF，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°，
∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°；

（2）如图2，过点F作FM⊥BC于M，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△ABE和△EMF中，

∠BAE＝∠MEF ∠B＝∠M＝90° EF＝AE

，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=MF，AB=EM，
∵AB=BC，
∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE，
∴CM=MF，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°，
∴∠FCE=45°；

（3）如图3，过点F作FM⊥BC，交CB的延长线于M，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△ABE和△EMF中，

∠BAE＝∠MEF ∠B＝∠M＝90° EF＝AE

，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=MF，AB=EM，
∵AB=BC，
∴CM=EM+EC=AB+EC=BC+EC=BE，
∴CM=MF，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°，
即∠FCE=45°．

Answer 2

(1)
过 F 作 FG 垂直 BC 于 G
可以知道三角形 ABE 全等于 EGF
所以 AB =EG， BE=FG
有 AB =BC ，所以 CG=EG-EC=AB-EC=BC-EC=BE=FG
所以 角FCG=45度。 可以求 角 FCE
(2)
同样是 过 F 作 FG 垂直 BC 于 G
可以知道三角形 ABE 全等于 EGF
相同的原理证明