Question

若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f

若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），则称f（x）为D上的凸函数．已知函数y=sinx在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ______．

Answer 1

∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴

f(A)+f(B)+f(C)

3

≤f（

A+B+C

3

）=f（

π

3

），
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2