Question

证明：z=|xy|在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微

证明：z=|xy|在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微．

Answer 1

因为0≤

|xy|

≤

x2+y2 2

，利用夹逼定理可得：

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)=

lim

(x，y)→(0，0)

|xy|

=0=f（0，0），
从而f（x，y）在（0，0）处连续．
又因为

lim

△x→0

f(△x，0)?f(0，0)

△x

＝0＝fx(0，0)，
同理，f_y（0，0）=0，
故f（x，y）在（0，0）处偏导数存在．
下面利用可微的定义来判断f（x，y）在（0，0）处是否可微．
因为

lim

△x→0 △y→0

△z?[fx(0，0)△x+fy(0，0)△y]

(△x)2+(△y)2

＝

lim

△x→0 △y→0

|△x||△y|

(△x)2+(△y)2

不存在，
故f（x，y）在（0，0）处不可微．