Question

（1）填空：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB于点E，则

（1）填空：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为______．（2）如图，若将（1）中条件“Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°”改为“△ABC中，∠C=2∠B”请问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠C=∠AED=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE；
在Rt△ACD与Rt△AED中，

CD＝DE AD＝AD(公共边)

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；
又∵∠B=45°，
∴∠DEB=45°（直角三角形的两个锐角互余），
∴DE=EB（等角对等边），
∴AB=AE+EB=AC+CD，即AB=AC+CD；

（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴将△CAB沿AD折叠，点C落在AB边上的C′处，
∴△ACD≌△AC′D，
∴AC=AC′，CD=C′D，∠C=∠1=2∠B；
又∵∠1=∠2+∠B，
∴∠2=∠B，
∴C′D=C′B，
∴AB=AC′+BC′=AC+CD，即AB=AC+CD．