Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为-1，且f（2-x）=f（2）+f（x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为-1，且f（2-x）=f（2）+f（x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f（2-x）=a（2-x）²+b（2-x）+c=ax²-（4a+b）x+4a+2b+c，
因为f（2-x）=f（2）+f（x）
所以ax²-（4a+b）x+4a+2b+c=4a+2b+c+ax²+bx+c，
即有

?(4a+b)＝b c＝0

，即

b＝?2a c＝0

所以f（x）=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
因为f（x）=ax²+bx+c最小值为-1，所以a=1
所以f（x）=x²-2x；
（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，
所以

m+1≤1 m+1＞2m

或

2m≥1 m+1＞2m

，即m≤0或

1

2

≤m＜1
所以m的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，1）．