Question

已知向量 OA =（1，-2）， OB =（a，-1）， OC =（-b

已知向量 OA =（1，-2）， OB =（a，-1）， OC =（-b，0）（其中a＞0，b＞0，O是坐标原点），若A，B，C三点共线，则 1 a + 2 b 的最小值为______．

Answer 1

∵ OA =（1，-2）， OB =（a，-1）， OC =（-b，0）， ∴ AB =（a-1，1）， AC =（-b-1，2）， ∵A，B，C三点共线， ∴2（a-1）-（-b-1）=0， ∴2a+b=1．又a＞0，b＞0， ∴ 1 a + 2 b =（ 1 a + 2 b ）（2a+b）=2+2+ 4a b + b a ≥4+2 4a b ? b a =4+2×2=8（当且仅当a= 1 4 ，b= 1 2 时取等号）． 故答案为：8．