Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn，若nan+1=Sn+n（n+1）且a1=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令Tn=Sn2n

已知数列{an}的前n项的和为Sn，若nan+1=Sn+n（n+1）且a1=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令Tn=Sn2n，①当n为何值时，Tn＞Tn+1，②若对一切正整数n，总有Tn≤m，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知：na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n
两式相减可得：a_n+1-a_n=2
所以数列{a_n}为以2为首项以2为公差的等差数列．
∴a_n=2+（n-1）?2=2n
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=2n，n∈N*
（2）由（1）知：Sn＝

n(2+2n)

2

＝n2+n
∴Tn＝

Sn

2n

＝

n2+n

2n

，
∴T1＝

2

2

＝1
T2＝

6

4

＝

3

2

T3＝

9+3

8

＝

3

2

T4＝

16+4

16

＝

5

4

T5＝

25+5

32

＝

15

16

…
可猜测当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列，当n≤2时，数列{a_n}为单调递增数列．
对“当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列”证明如下：
当n=3时，T3＝

9+3

8

＝

3

2

 
当n=4时，T4＝

16+4

16

＝

5

4

，∴T₄＜T₃
假设当n=k时成立，即T_k＜T_k-1，∴

(k?1)2+k?1

2k?1

＞

k2+k

2k

则当n=k+1时，Tk+1＝ 

(k+1)2+k+1

2k+1

=

1

2

?

(k2+k)+2k+2

2k

＜

1

2

? (

(k?1)2+k?1

2k?1

+

2k+2

2k

)
=

k2+1

2k

＜

k2+k

2k

故当n=k+1时猜测成立．综上可知：当n≥3时，数列{a_n}为单调递减数列，当n≤2时，数列{a_n}为单调递增数列．
又因为：对一切正整数n，总有T_n≤m，且T_n的最大值为

3

2

，所以m≥

3

2

．
∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，
m的取值范围为：m≥

3

2

．