Question

如图，在RT△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙切AC于点E，交BC于点F。

如图，在RT△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙切AC于点E，交BC于点F。
求证：BD²=BF²+4CE²
若BC=3，sinB=4/5.求线段BF的长

Answer 1

如图，在RT△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F。1）求证：BD²=BF²+4CE²。2）若BC=3，sinB=4/5.求线段BF的长。

1）证明：连结DF，EO相交于G；则因以BD为直径的⊙O切AC于点E，OE⊥AC（过切点的圆的半径）；∠DFB=∠C=90D（直径上的圆周角），所以AC//DF；所以OE⊥DF；所以四边形CEGF是矩形；DG=DF（垂径定理）=CE；根据勾股定理：

BD^2=BF^2+FD^2=BF^2+(DG +GF)^2=BF^2+(2CE)^2=BF^2+4CE^2。

2）因为sinB=4/5=AC/AB=DF/BD=2CE/BD; 因为CE^2=CF*BC=3CF（切割线定理）...(1); CF=EG=DG^2/(OG+EG)（相交弦定理）=CE^2/(BF/2+DB/2)=2CE^2/(BF+DB)....(2); 由（1）和（2）得：CE^2=3*CF=3*2*CE^2/(BF+DB), 即：BF+DB=6; BF/DB=3/5(勾三股四弦五）; BF=(3/5)DB; (1+3/5)DB=6, BF=(3/5)*6/(1+3/5)=9/4=2又1/4。

Answer 2

（1）证明：连接DF ,OE，OE ,DF相交于G
因为以BD为直径的圆O切AC于E
所以CE^2=CF*BC
角OEC=90度
角DFB=90度
所以三角形DFB是直角三角形
所以BD^2=DF^2+BF^2
因为角C=90度
所以角C=角DFB=90度
所以DF平行AC
角OEC+角C=180度
所以OE平行BC
所以四边形EGFC是平行四边形
所以四边形EGFC是矩形
所以CE=GF
角OGF=90度
所以OG垂直DF
因为OE是半径
所以OE垂直平分DF
所以DG=FG=1/2DF
所以DF=2CE
所以BD^2=BF^2+4CE^2
（2）解：因为三角形DFB是直角三角形（已证）
所以BD^2=DF^2+BF^2
因为sinB=DF/BD=4/5
所以DF=4BF/3
因为DF=2CE（亿证）
所以CE=2BF/3
因为CE^2=CF*BC
BC=3
CF=BC-BF
所以BF=9/4 BF=-9（不合题意，应舍去）
所以BF=9/4

Answer 3

连接OE，由已知条件===＞BD²-BF²=FD²，且∠CEO=90°，
连接FD，相交OE于G,由已条件===＞∠CFD=90°===＞FG=DG
又已知∠C=90°
所以四边形CEGF为长方形 ===＞CE=FG=1/2FD===＞FD=2CE
所以 BD²-BF²=（2CE）²===＞BD²=BF²+4CE²

注：===＞为推导符号

追问

主要是第二问