Question

求解函数的定义域

设f（x）=x（ex-1）-1/2x的平方，求f（x）的单调区间

Answer 1

　　定义域：
　　定义域 指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。例如：函数y=2x+1,规定其定义域为-10，10，就是对称的。

　　f(x）是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x）的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x）有了一个初步的认识，我们还需要对f(x）有更深刻的了解。

　　可以从以下几个方面来认识f(x）。
　　第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。
　　第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。
　　例如：f(x+1）的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1）的自变量是x,它的对应法则不是f。
　　我们不妨作如下假设，如果f(x)=x²+1，那么f(x+1）=(x+1）²+1,f(x+1）与（x+1）²+1这个代数式相等，即：（x+1）²+1的自变量就是f(x+1）的自变量。（x+1）²+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。
　　再如，f(x）与f(t）是同一个函数吗？
　　只须列举一个特殊函数说明。
　　显然，f(x）与f(t）它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x）与f(t）就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
　　例：已知f(x+1）=x²+1 ，f(x+1）的定义域为[0，2]，求f(x）解析式和定义域
　　设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=x²+1中）
　　f(t)=f(x+1）=(t-1）²+1
　　=t²-2t+1+1
　　=t²-2t+2
　　所以，f(t)=t²-2t+2， 则f(x)=x²-2x+2
　　或者用这样的方法——更直观：
　　令 f(x+1）=x²+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1）=x²+1，那么：
　　f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）²+1
　　=x²-2x+1+1
　　=x²-2x+2
　　所以，f(x)=x²-2x+2
　　而f(x）与f(t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，
　　由t=x+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]
　　f(x)=x²-2x+2的定义域为：x∈[1，3]
　　综上所述，f(x)=x²-2x+2（x∈[1，3]

Answer 2

函数的定义域如何求，数学小知识

Answer 3

原题是:设f（x）=x(e^x-1)-(1/2)x^2,求f(x)的单调区间.

f(x)=xe^x-x-(1/2)x^2
f'(x)=e^x+xe^x-1-x=(x+1)(e^x-1)
由f'(x)>0,解得x<-1或x>0
由f'(x)<0,解得-1<x<0
所以 f(x)的单增区间是:(-∞,-1),(0,+∞)
单减区间是:(-1,0)

希望能帮到你！