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定义域:
定义域 指该函数的有效范围,其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。例如:函数y=2x+1,规定其定义域为-10,10,就是对称的。
f(x)是函数的符号,它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域。x是自变量,它代表着函数图象上每一点的横坐标,自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定。例如:f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围(x2+1≥1)就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题,仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识,我们还需要对f(x)有更深刻的了解。
可以从以下几个方面来认识f(x)。
第一:对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式,它就是一个函数,其自变量是x,对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应,所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。
第二:对抽象数的认识,对于一个没有具体解析式的抽象函数,由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域,很难理解它的符号及其意义。
例如:f(x+1)的自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。
我们不妨作如下假设,如果f(x)=x²+1,那么f(x+1)=(x+1)²+1,f(x+1)与(x+1)²+1这个代数式相等,即:(x+1)²+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)²+1的对应法则是先把自变量加1再平方,然后再加上1。
再如,f(x)与f(t)是同一个函数吗?
只须列举一个特殊函数说明。
显然,f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的,如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的,则f(x)与f(t)就是相同的函数,否则,它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
例:已知f(x+1)=x²+1 ,f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)解析式和定义域
设x+1=t,则;x=t-1,那么用t表示自变量f的函数为:(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x²+1中)
f(t)=f(x+1)=(t-1)²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以,f(t)=t²-2t+2, 则f(x)=x²-2x+2
或者用这样的方法——更直观:
令 f(x+1)=x²+1 中的x=x-1,这样就更直观了,把x=x-1代入 f(x+1)=x²+1,那么:
f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以,f(x)=x²-2x+2
而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,
由t=x+1,f(x+1)的定义域为[0,2],可知道:t∈[1,3]
f(x)=x²-2x+2的定义域为:x∈[1,3]
综上所述,f(x)=x²-2x+2(x∈[1,3]
定义域 指该函数的有效范围,其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。例如:函数y=2x+1,规定其定义域为-10,10,就是对称的。
f(x)是函数的符号,它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域。x是自变量,它代表着函数图象上每一点的横坐标,自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定。例如:f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围(x2+1≥1)就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题,仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识,我们还需要对f(x)有更深刻的了解。
可以从以下几个方面来认识f(x)。
第一:对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式,它就是一个函数,其自变量是x,对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应,所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。
第二:对抽象数的认识,对于一个没有具体解析式的抽象函数,由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域,很难理解它的符号及其意义。
例如:f(x+1)的自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。
我们不妨作如下假设,如果f(x)=x²+1,那么f(x+1)=(x+1)²+1,f(x+1)与(x+1)²+1这个代数式相等,即:(x+1)²+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)²+1的对应法则是先把自变量加1再平方,然后再加上1。
再如,f(x)与f(t)是同一个函数吗?
只须列举一个特殊函数说明。
显然,f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的,如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的,则f(x)与f(t)就是相同的函数,否则,它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
例:已知f(x+1)=x²+1 ,f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)解析式和定义域
设x+1=t,则;x=t-1,那么用t表示自变量f的函数为:(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x²+1中)
f(t)=f(x+1)=(t-1)²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以,f(t)=t²-2t+2, 则f(x)=x²-2x+2
或者用这样的方法——更直观:
令 f(x+1)=x²+1 中的x=x-1,这样就更直观了,把x=x-1代入 f(x+1)=x²+1,那么:
f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以,f(x)=x²-2x+2
而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,
由t=x+1,f(x+1)的定义域为[0,2],可知道:t∈[1,3]
f(x)=x²-2x+2的定义域为:x∈[1,3]
综上所述,f(x)=x²-2x+2(x∈[1,3]
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函数的定义域如何求,数学小知识
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原题是:设f(x)=x(e^x-1)-(1/2)x^2,求f(x)的单调区间.
f(x)=xe^x-x-(1/2)x^2
f'(x)=e^x+xe^x-1-x=(x+1)(e^x-1)
由f'(x)>0,解得x<-1或x>0
由f'(x)<0,解得-1<x<0
所以 f(x)的单增区间是:(-∞,-1),(0,+∞)
单减区间是:(-1,0)
希望能帮到你!
f(x)=xe^x-x-(1/2)x^2
f'(x)=e^x+xe^x-1-x=(x+1)(e^x-1)
由f'(x)>0,解得x<-1或x>0
由f'(x)<0,解得-1<x<0
所以 f(x)的单增区间是:(-∞,-1),(0,+∞)
单减区间是:(-1,0)
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