Question

已知函数f(x)=根号√x^2+1-ax.其中a>0,若2f(1)=f(-1),求a的值

已知函数f(x)=根号√x^2+1-ax.其中a>0,若2f(1)=f(-1),求a的值，证明，当且仅当a>=1时，函数f(x)在区间【0，正无穷）上为单调函数

Answer 1

2f(1)=f(-1),
即:2(根号(1+1)-a)=根号(1+1)+a
2根号2-2a=根号2+a
a=根号2/3.

2.
设有x1,x2∈[0,+∞)，且x1>x2,则
f(x1)-f(x2)=根号(x1²+1)-ax1-根号(x2²+1)+ax2
=根号(x1²+1)-根号(x2²+1)-a(x1-x2)
≤根号((x1+1)²)-根号((x2+1)²)-a(x1-x2)（注意此步成立是因为x1和x2都大于零）
=(x1+1)-(x2+1)-a(x1-x2)
=(1-a)(x1-x2)
由于a≥1且x1>x2，所以(1-a)(x1-x2)≤0，故f(x1)-f(x2)≤0，由此可知f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数。

Answer 2

本题的第二问，我先后用了两种方法给予了证明，但不知为什么被百度屏蔽了，（http://zhidao.baidu.com/question/1668858550888665067.html ）

就只好发表在这里，希望能给大家以参考：