Question

讨论函数f(x)=x+ 1/x-1在（1，正无穷）的单调性，并求最小值

我是数学学渣，希望各位数学大神给我详细过程，谢谢！

Answer 1

如果题目是f(x) = (x+1)/(x-1) = (x-1+2)/(x-1) = 1 + 2/(x-1)
x属于（1，+无穷大）
x-1单调增，2/(x-1)单调减，1+2/(x-1)单调减
∴f(x) = (x+1)/(x-1)在（1，+无穷大）上单调减
x趋近+无穷大时，f(x)趋近0，最小值不存在。

如果题目是：
x属于（1，+无穷大）
f(x) = x + 1/(x-1) = (x-1) + 1/(x-1) + 1 = {√(x-1)-1/√(x-1)}² + 3
当x-1＜1时单调减，当x-1＞1时单调增
∴单调减区间（1，2），单调增区间（2，+无穷大）
极小值f(2)=3

Answer 2

f(x)=x+1/x-1
定义域x≠0
f'(x)=1-1/x²
x>1,f'(x)>0,f(x)单调递增
f(x)>f(1),最小值不存在。