Question

利用斯托克斯公式计算∫ y^2dx+z^2dy+x^2dz 其中∑为x^2+y^2+z^2=a^

外侧位于第一卦限部分的正向边界

Answer 1

∵dx+xydy=y^2dx+ydy

==>y(x-1)dy=(y^2-1)dx

==>2ydy/(y^2-1)=2dx/(x-1)

==>d(y^2-1)/(y^2-1)=2d(x-1)/(x-1)

==>∫d(y^2-1)/(y^2-1)=2∫d(x-1)/(x-1) (积分)

==>ln│y^2-1│=2ln│x-1│+ln│C│ (C是任意常数)

==>y^2=1+C(x-1)^2

∴此方程的通解是y^2=1+C(x-1)^2。

扩展资料

该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。

类似的，高斯散度定理

也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

Answer 2

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Answer 3

斯托克斯公式