Question

高一函数

设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，方程f(x)=0的两实根的平方和为10，f(x)的图像过点（0,3），求f(x)的解析式

Answer 1

由f(x+2)=f(2-x)得此二次函数以x＝2为对称轴，设其两实根为m，4－m。则m^2+(4-m)^2=10,解之得：m＝1，4-m＝3。所以，设此函数为：f（x）＝n（x－1）*（x-3） 又过点（0,3），所以n（0－1）*（0-3）＝3，所以n=1,所以此函数为f(x)＝（x－1）*（x-3），整理得：f(x)＝x^2-4x+3

Answer 2

由第一个条件-b/(2*a)=2；//对称轴
由第二个条件得b^2-4a*c=10*a^2;//一元二次函数的根的性质
由第三个条件得c=3;//一元二次函数的标准形式
解得a=2
b=-8
c=3

Answer 3

解：二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，
可知f(x)关于x=2对称
设f(x)=a(x-2)^2+k(a不等于0),即f(x)=ax^2-4ax+4a+k
过点(0,3)
即4a+k=3,,原函数变为f(x)=ax^2-4ax+3
令ax^2-4ax+3=0，方程有两实数根，则德尔塔=16a^2-12a>=0，
得a<0或a>=3/4
韦达定理：x1+x2=4,x1*x2=3/a
所以x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=16-6/a=10
得a=1>3/4，满足题意。
所以f(x)=x^2-4x+3.