Question

急急急``一道高一数学题--抽象函数

已知f(x+y)=f(x)+f(y)
当x>0时，f（1）=-2/3
（1）证明：f（x）是R上的减函数
（2）求f（x）在【-3,3】上的最大值和最小值

请大家尽量帮帮忙，谢谢！

Answer 1

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2/3，
令x=y=1，得f(2)= -4/3，
再令x=1，y=2，得f(3)= -2，∴f(-3)= -f(3)= 2，

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
最大值为f(-3)= -2，最小值为f(3)=2.