Question

已知a1 a2 a3 am 线性无关,b1=a1+a2 b2=a2+a3,...,bm-1=a-1+am

已知向量组a1,a2,……am线性无关,而b1=a1+a2,b2=a2+a3,……,bm-1=am-1+am,bm=am+a1,试确定向量组b1,b2,……,bm的线性相关性
解法如下
传统解法
设 k1b2+k2b2+...+kmbm=0.
则 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+...+km(am+a1)=0
即 (k1+km)a1+(k1+k2)a2+...+(km-1+km)am=0
因为 a1,a2,...,am 线性无关
所以
k1+km=0
k1+k2=0
...
km-1+km=0
因为系数行列式 =
1 0 0...0 1
1 1 0...0 0
0 1 1...0 0
......
0 0 0...1 1
= 1+(-1)^t(m12...m-1)
= 1+(-1)^(m-1)
所以 m为奇数时,系数行列式=2,方程组只有零解
即 k1=k2=...=km=0.
故此时向量组 b1,b2,...,bm 线性无关.
当m为偶数时,系数行列式=0,方程组有非零解.
此时向量组 b1,b2,...,bm 线性相关.

为什么系数行列式是
1 0 0...0 1

1 1 0...0 0
0 1 1...0 0
......
0 0 0...1 1

？？？？？？？？？？？？？？？？？

Answer 1

你把未知量k1,...,km看成x1,...,xm,这样应该容易懂，只不过变量名字变了！！

追问

为什么是1000.....1为什么是1和0

追答

x1 x2 ... xm
这个x1+xm=1x1+0x2+0x3+...+1xm
这个系数就是1 0 0 。。。1
就是第一行