Question

已知向量组a1，a2，a3线性无关b1=a1-2a2，b2=a2-a3，b3=a1-2a3，讨论向量组b1，b2，b3的线性相关性

已知向量组a1，a2，a3线性无关b1=a1-2a2，b2=a2-a3，b3=a1-2a3，讨论向量组b1，b2，b3的线性相关性．

Answer 1

假设存在一组实数k₁，k₂，k₃，使得k₁b₁+k₂b₂+k₃b₃=0，
即  k₁（a₁-2a₁）+k₂（a₂-a₃）+k₃（a₁-2a₃）=（k₁+k₃）a₁+（-2k₁+k₂）a₂+（-k₂-2k₃）a₃=0．
因为向量组a₁，a₂，a₃线性无关，所以

k1+k3＝0 ?2k1+k2＝0 ?k2?2k3＝0

．
因为

.

1 0 1 ?2 1 0 0 ?1 ?2

.

第2行加上第1行的2倍  .

.

1 0 1 0 1 2 0 ?1 ?2

.

=0，
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得，
k₁，k₂，k₃不全为0．
故向量组b₁，b₂，b₃线性相关．