Question

关于不定积分的方法中，有理分式拆分法的问题

有理分式拆分，要求待定系数，书中给出一个解法，叫赋值法，我想问赋值法求出来的系数值都一定符合原等式吗？换言之，赋值法是不是一种充分的方法，即求出来的系数必然会使赋其他任何一个x值等式都成立？如果是，为什么？不是也举个例子，谢了

Answer 1

在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的。因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，也就是设a(x)=a(x)，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在a(x)的定义域内，该等式一定成立的。而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。不懂可以追问。

追问

我不明白的就是为什么二者的“效果是一样的”，比如这个：4x²+10=A（x-2）²+B（x-1）
我赋值，x=2，得B=26；x=1，A=14.然而用另一种方法得的是A=4，B不存在。这怎么解释？

追答

啊？谁说有理式拆分是这样的啊，右边的形式不是你想设成什么样就设成什么样的。不定积分里面的有理式拆分指的是比如1/(x^-1)这样的式子，你给他拆成了A/(x+1)+B/(x-1)；然后令x=2得到左边是1/3，右边是A/3+B；同样再令x=-2，左边是1/3，右边时-A-B/3
然后解一个关于AB的二元一次方程组，得到A=-1/2；B=1/2，哪里是你想怎么改就怎么该的啊

追问

没太明白，我写的这个不也是整式形式嘛？那么以你那个例子为例好了，1/x²-1，拆成A/x+1和
B/x-1，写成整式：1=A（x+1）+B（x-1），列成方程组，这是第一种方法；令x，是第二种方法，为什么是等价的呀？

追答

额，写成整式怎么会是1=A（x+1）+B（x-1）呢？你在逗我嘛？a的倒数等于b的倒数加上c的倒数，所以a等于b+c？我没懂你想问什么。。。。

追问

我想问的就是为什么是两方法是等价的。
1/（x-1）（x+1）=A（x+1）+B（x-1）/（x-1）（x+1）这不是你设的嘛，写成整式当然是1=A（x+1）+B（x-1）了

追答

不能这么写啊，我是说把1/(x^2-1)拆成A/(x+1)+B/(x-1)。
在不定积分中的有理式不是整式，拆分方式也不是这样的

有理式指的是分子和分母都是多项式的有理函数，其可以拆分成多项式和真分式的和

追问

那么你说说那两个方法为什么是等价的吧？

追答

。。。。。。。。。。。。。问题又回来了，我。。。。。。。。。。。。。。。。。。

你看，两种做法要求的方程组其实是一样的，这是因为你在设的时候就已经设的是恒等式了，在这个恒等式下，应该满足对于任何一个x都有等式成立，所以无论你取什么样的值，结果都是一样的

追问

对，在这个条件下取任何x都成立，但取了几个x算出的系数就一定是使所有x都成立的系数吗？这真的不是充分和必要条件的区别吗？

取的那几个x算出的系数能充分地保证对所有x都成立吗？

追答

额，我和你说原理你又不明白，举例子你又让我讲原理，我真是醉了。。。。。。
原理就是因为你设的是一个恒等式，所以无论对于x取什么值，左右两边都成立。
因为在利用多项式恒等定理的时候，是比较的多项式同次幂项左右两边系数的值相等不相等，和x的取值一点关系都没有。。。。无论你给不给x取值，其实都是要通分，所以归根结底都是通分法。你认认真真读一下我写的，费劲千辛万苦给你写的，你都不好好读，然后就问，让我情何以堪。

追问

算了，我还是先采纳你吧，之后再好好研究一下