Question

如图一，在三角形ABC中，AB等于AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC作垂线，垂足分别为

如图一，在三角形ABC中，AB等于AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC作垂线，垂足分别为E,F两点。

Answer 1

【补充】

CG是AB边上的高。

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

【解】

（1）DE+DF=CG

证明：

连接AD，

则S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即1/2AB×CG=1/2AB×DE+1/2AC×DF，

∵AB=AC，

∴CG=DE+DF。

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG。

证明：

连接AD，

则S△ABD=S△ABC+S△ACD，

即1/2AB×DE=1/2AB×CG+1/2AC×DF，

∵AB=AC，

∴DE=CG+DF，

∴DE-DF=CG。

同理：当D在CB的延长线上时，则有DF-DE=CG。证法同上（略）。