Question

椭圆上一点到两焦点之和

Answer 1

椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴2a。

椭圆的第一定义：平面上到两定点距离之和为定长的点的轨迹。这个定长就是2a。这里的2a是两个距离之和.2a＝10可以直接推出a＝5；椭圆上短轴的端点到两个焦点的距离相等，都是a；圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径，它不是定值。

就椭圆来说：过右焦点的半径r＝a-ex；过左焦点的半径r＝a＋ex；过上焦点的半径r＝a-ey；过下焦点的半径r＝a＋ey.，6，a为长轴长的一半。椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c。

椭圆的焦距就是椭圆两个焦点的距离。如焦点在x轴上的椭圆方程为：x²/a²＋y²/b²＝1；这当中，a叫长半轴，2a就是长轴之长；b叫短半轴，2b就是短半轴之长；c²＝a²-b²；c叫半焦距，2c就是焦距。

椭圆上的点到焦点的最长最短距离：

设椭圆方程为x＾2/a＾2＋y＾2/b＾2＝1，P为椭圆上任意一点，椭圆的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），则椭圆上P点到左焦点F1的距离为|PF1|，它的最大值为a＋c，最小值为a-c。即为椭圆上的点到焦点的最长距离和最短距离。

证明请看下方具体内容：设P（x，y），利用两点间距离公式可以得到|PF1|的表达式，利用二次函数的知识可以求得它的长度为a＋ex，（e为离心率），此即为焦点半径公式，因为-a≤x≤a，则可以得到|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a-c。同理也可得到|PF2|的最大值为a＋c，最小值为a-c。