Question

如何用数学归纳法证明这个不等式?

n^3 < n! 当n大于等于6的时候
请给出完整解答!!
xuzhouliuying 大哥:

有一段我没看懂，请问这个是如何得出的?
(k+1)!-(k+1)^3
>(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1

Answer 1

证：
n=6时，
6^3=216
6!=720
6^3<6!，不等式成立。

假设当n=k(k为自然数，且k≥6)时，不等式成立，即k^3<k!则当n=k+1时，

(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1
(k+1)!=(k+1)k!>(k+1)k^3

(k+1)!-(k+1)^3
>(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1
=k^4-3k^2-3k-1
=(k^4-1)-3k(k+1)
=(k^2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1)
=(k+1)[(k^2+1)(k-1)-3k]
=(k+1)(k^3-k^2+k-1-3k)
=(k+1)(k^3-k^2-2k-1)
=(k+1)(k^3-2k^2+k^2-2k-1)
=(k+1)[k^2(k-2)+k(k-2)-1]
=(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]

k≥6 k-2≥4 k+1≥7
k(k-2)(k+1)≥6*4*7>1
k(k-2)(k+1)-1>0
k+1>0
(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]>0

(k+1)!-(k+1)^3>0
(k+1)^3<(k+1)!
不等式同样成立。

综上，n≥6时，不等式n^3<n!恒成立。