Question

已知函数f（x）=x+1/x 1.判断f（x）在（0，正无穷）上的单调性并证明 2.求f（x）的定义域和值域

Answer 1

f（x）=x+1/x
f'(x)=1-1/x^2
f''(x)=2/x^3
当f'(x)=1-1/x^2=0，即x=±1时函数有极值

（一）

在（0,＋∞）区间，x=1时f''(x)=2＞0,函数图像在（0，＋∞）区间开口向上，f(x)有极小值，所以：
在区间（0,1），单调递减；
在区间（1,+∞），单调递增。

（二）

函数的定义域为x≠0用区间表示即为：（-∞，0），（0，+∞）
在（0，+∞）区间，值域[2，+∞）

在（-∞，0）区间，当x=(-1)时，f''(-1)=2/(-1)^3＜0,开口向下有极大值f(-1)=-1+1/(-1)=-2
在区间（-∞,1），单调递增；
在区间（1,0），单调递减。
值域（-∞，-2]

函数在所有区间上的值域：
（-∞,-2]，[2，+∞）

Answer 2

对f（x）求导，得到导数=1-1/x^2，令导数=0，解得x=1，
当0<x<1时，导数<0,f（x）单调减；
当x>=1时，导数>=0,f（x）单调增；

定义域（0，正无穷），值域>=f(1)=3/2