Question

问道高中数学题，求详细解答

f(x)为R上的函数，f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，0小于f(x)小于1
(1)求证：f(0)=1.且x<0时，f(x)>1
(2)求证：f(x)在R上递减

Answer 1

(1)当x=0,y=0时
f(0)=f(0)*f(0)
所以f(0)=0或f(0)=1
当x=0,y=1时
f(1)=f(0)*f(1)
因为当x>0时0<f(1)<1，所以f(0)不等于0，
所以f(0)=1;

当x>0时,设y=-x，所以y<0;
所以f(x+y)=f(x)f(y)
f(0)=f(x)f(y)
f(y)=1/f(x)
因为当x>0时,0<f(x)<1
所以1/f(x)>1
所以f(y)>1
所以当x<0时,f(x)>1

（2）令x2>x1,x1,x2都属于R
f(x2)-f(x1)
=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)*f(x1)-f(x1)
=[f(x2-x1)-1]*f(x1)
由x2-x1>0,
所以0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0,
[f(x2-x1)-1]*f(x1)<0,
f(x2)-f(x1)<0,
在R上递减

Answer 2

解：1.令y=-x 则f(0)=f(x)f(-x)=1.当x<0,-x>0.f(-x)属于（0,1)故
f（x）>1
2.不妨令x1<x2,x1,x2属于R
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)
=[f(x2-x1)-1]f(x1) 由x2-x1>0,f(x2-x1)<1,f(x1)>0,
f(x2)-f(x1)<0,即在R上递减。
此类问题关键是要充分运用好题目中给出的抽象函数，结合单调性进行证明，学会进行适当的变形。