Question

设函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx在x=-3和x=1时取极值, 1求a,b的值 2求f(x)在[-2,2]上的最值.请写出详细步骤

Answer 1

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx
f(x)’=x^2+ax+b
x=-3和x=1时取极值那么
-3和1是x^2+ax+b=0的两个根
所以-3+1=-a
-3×1=b
a=2 b=-3
2）
f(x)=1/3x^3+x^2-3x
f(x)’=x^2+2x-3
令f（x）’>0得到
x>1或者x<-3
所以f(x)在[-2,1]上单调减
在[1,2]单调增
所以最小值f（1）=1/3+1-3=-5/3
f（-2）=-8/3+4+6=22/3
f(2)=8/3+4-6=2/3
所以最大值是22/3

Answer 2

(1)

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx
f'(x)=1/3*(3x^2)+1/2a*2x+b=x^2+ax+b
f''(x)=2x+a
在x=-3和x=1时取极值，相当于x=-3和x=1是f'(x)=0的两个根
将x=-3和x=1代入x^2+ax+b=0得：
(-3)^2-3a+b=0
1^2+a+b=0
解得：a=2，b=-3

(2)
将a=2，b=-3代入原函数关系式得：f(x)=1/3x^3+x^2-3x
在[-2,2]区间，x=1时取极值，由于f''(1)=2x+a=2*1+2=4＞0，故开口向上，函数有极小值f(1)=1/3+1-3=-5/3
f(-2)=1/3*(-2)^3+(-2)^2-3*(-2)=22/3
f(2)=1/3*2^3+2^2-3*2=2/3
故在[-2,2]区间最大值f(-2)=22/3，最小值f(1)=-5/3