Question

30分。急！求教一道数学题

函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,切对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立,已知x∈[1.2]时,f(x)=loga x，【ps：a是底数，x是真数】
(1)求x∈[-1,1]时，函数f(x)的表达式.
(2)求x∈[2k-1,2k+1]时，f(x)的解析式.
(3)若函数f(x)的最大值为1/2，在区间[-1,3]上，解关于x的不等式f(x)>1/4.

请教详细解法，谢谢

Answer 1

（一）∵f(x+1)=f(x-1),(x∈R)∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x).即f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)=f(-x).又x∈[1,2]时，f(x)=㏒ax.(1)当-1≤x≤0时，1≤x+2≤2,∴f(x)=f(x+2)=㏒a（x+2).即当-1≤x≤0时，f(x)=㏒a(x+2).(2)当0≤x≤1时，-1≤-x≤0,∴f(x)=f(-x)=㏒a(2-x).综上可知，当x∈[-1,0]时，f(x)=㏒a(x+2),当x∈[0,1]时，f(x)=㏒a(2-x).(二）∵2k-1＜2k＜2k+1.当2k-1≤x≤2k时，-1≤x-2k≤0.f(x)=f(x-2k)=㏒a[(x-2k)+2].当2k≤x≤2k+1时，0≤x-2k≤1,f(x)=f(x-2k)=㏒a[2-(x-2k)].综上可知，当x∈[2k-1,2k]时，f(x)=㏒a[x+(2-2k)].当x∈[2k,2k+1]时，f(x)=㏒a[(2+2k)-x].(三）由题设并结合前面的讨论，数形结合可知，a=4.∴f(x)＞1/4的解集为(√2-2,2-√2)∪(√2,4-√2).