Question

求∫∫xy[1+x²＋y²]dxdy,其中D＝((x,y)|x²＋y²≦根号2,x≧0,y≧0)

求∫∫xy[1+x²＋y²]dxdy,其中D＝((x,y)|x²＋y²≦根号2,x≧0,y≧0)其中[1+x²＋y²]表示不超过1+x²＋y²的最大整数

Answer 1

简单分析一下，详情如图

Answer 2

答：1-π/2这个有点复杂，看这分母，用极坐标方便看这分子和积分区域，用直角坐标方便那唯有在直角坐标下逐个积分吧∫∫_(D)(x²-xy-y²)/(x²+y²)dxdy=∫(0,1)dy∫(-y,y)(x²-xy-y²)/(x²+y²)dx先对x积分，把y视为常数，得∫(x²-xy-y²)/(x²+y²)dx=x+2yarctan(y/x)-(y/2)ln(x²+y²)再代入积分限x=-y到x=y，得∫(-y,y)(x²-xy-y²)/(x²+y²)dx=(2-π)y再对y，在y=0到y=1上积分得结果(2-π)*1/2=1-π/2图像如下：

追问

这个最后结果答案是3/8🙌

我算出来不对。应该没有你说的这么复杂因为没给解的过程😘

题目中[]号并不是括号只是一种表现形式😋

Answer 3

分情况讨论，在D中分为D1：x²+y²<1，和D2：1≤x²+y²≤√2，则∫∫（D）xy（1+x²+y²）dxdy=∫∫D1+∫∫D2=1/8+1/2-1/4=3/8