Question

advanced mathmatics~~~高等数学】about triple integral-3，怎么理解：这个三重积分？

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Answer 1

三重积分通常有两种列式方法：

1、投影法

先确定最大投影面D，然后在投影面上划分微元，得到一些列曲顶柱体，整个积分区域由一个个柱体平铺出来。此过程也可以叫做先一后二法——先沿着曲顶柱体的高的方向进行定积分，再在最大投影面上进行二重积分。

2、截面法

先沿着某个轴确定积分范围（例如z1≤z≤z2，这里z1，z2为常数），然后用垂直于这个轴的截面截取积分区域，得到一个个薄片，整个积分区域由一层层的截面D_z堆积出来。此过程也可以叫做先二后一法——先在薄片区域内二重积分，再沿着一开始确定的轴进行定积分。

把他们想象成切面包，投影法是切成一块一块的，截面法是切成一层一层的。你给的图中用的是正是投影法，你可以体会一下；你另一道题中，我用的是截面法计算的（那题当然也可用投影法，你可以尝试一下）。

追问

追答

二者确实可以融合在一起：对于z=x^2/a^2 + y^2/b^2，确定z得到椭圆，确定x或y得到抛物线。参考维基词条-Paraboloid或者百度百科-椭圆抛物面。

追问

上面三个图，仅作备用

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问题请见下图的文字部分！

以前，椭圆抛物面，椭圆抛物面.......

随便叫叫，

叫过拉倒！

啥都忘掉！

今天，我对这种面，

进行了思考！

老师，能否检验一下？

我理解的正确否？一再追问，实在不好意思~~但是，我还是想“彻底弄懂和理解掉”

追答

①②没错，③切出的依然是抛物线；用平行xoy的平面去切它，得到的才是椭圆。

看一下③，代数上就是椭圆抛物面与过圆心的铅锤面的交线：

追问

彻底弄懂