Question

advanced mathmatics~~~高等数学】about triple integral~~~这三个三重积分都能计算吗？

Answer 1

柱坐标系下积分区域Ω上的累次积分形式为：

给出的式子中应该只有<3>可以解析计算：

追答

上图是采用了截面法，你也可以尝试投影法

追问

先说一声：老师辛苦啦！

我想着重的问一哈：

如果eの头上，

不是z！

而是x或者y，

那么，

就会造成一种“无法积分的局面”，是吗？

追答

是的，求不出原函数导致积分无法继续下去

追问

上面两图：仅供参考

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下面的图：

问题就在这个图里！【请见红色字体部分】

我“进行了错误的计算”，

也就是说，

跟老师您的答案，不一致！

然后，引起了我的思考！

现在，我又想：1部与2部之间，是不是一定要有所牵连，才行呢？

追答

错误原因确实是在积分范围。你已经意识到了“隐形的牵制和影响”，为什么要受到“牵连”？因为你正是在当前的这个Ω，而不是别的Ω1，Ω2上积分，这个“牵制”的存在正是Ω的“个性”的体现。举个例子，你和你同学都在同一个学校，但是回家时你受到了“牵制”——你只能回你自己家，而不能随意跑别人家去。“回家”这个制约体现了你们是来自不同家庭的个体。

于是明确了Ω是一个确定的空间区域，那么三个方向必然是相互牵制的。并且，先确定的维度具有最大的自由度，最后确定的维度必然要受到前面维度的制约，以保证它们统一于Ω这个整体。比如做“数独”这个数学游戏，一开始总是很轻松地填数字，最后的数字就填的很吃力，因为受到了规则以及之前填好的数字的“牵制”。

还记得之前说的投影法和截面法么？投影法先确定最大投影面（独立于第三个维度），然后在第三个维度上积分，第三个维度的积分区间必然受前两个维度的影响；截面法先确定一个维度（最自由的），然后在垂直于这个维度的截面上积分，这个截面表示的区间必然受第一个维度的影响。

你写的积分区域中，我只看到混乱。你并没有描绘出题中这个独特的Ω，为了让你自己体会到问题所在，你尝试写出下面区域Ω1的积分范围：

是不是和你之前为Ω写的区域一样？不知能否体会错误所在。

追问

上图：乃是原题

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下图：乃是您出的新题！

希望老师，能检阅一下~~~呵呵~~我也是，冥想了一阵：

想想：

自己错在哪里？

怎么来认识triplet  integralの最基础的形式の含义?

因为，现在，我深刻认识到：基础的没掌握，后面一直做做做，

是没有意义的！

“高难度”、“高技巧”也只能“徒有其名”，无法落到地面、引进人心

追答

这次你图中的评注抓住要点了：对[1, 2]之间的每个z确定的区域积分

上面采用的截面法的思路，如有兴趣，还可以用投影法的思路列式，以加深理解

追问

恕我学生 学力贫瘠和“羸弱”~~~~您能否，
给予少许提示？

【不要解答！我会力争解答出来！以提高我的，”实战”能力】
BIG THANKS

追答

上图即为提示。你之前关于三重积分的几个提问的例子，正是用投影法做的，可以找找灵感。

追问

追答

之所以可以拆成两部分分别积分，这是定积分的基本性质：积分区域的可加性，[0,2]区间的积分是[0,1]与[1,2]的和

你的列式之所以错误，还是没有弄清投影法计算三重积分，积分限不是凭空想象的，每一个坐标变量的积分限都可以在图中对应起来，你试试，如果对不上，那就错了

追问