Question

高数，求个过程

Answer 1

y＝lnx的导数为y＝1/x
设切点为(a，lna)
则该点处切线斜率为1/a
则切线方程为y－lna＝(1/a)(x－a)
所求图形面积为
S＝∫lnx－[(1/a)(x－a)＋lna]dx「x＝2～6」
＝∫lnx－x/a＋1－lnadx「x＝2～6」
＝xlnx－x²/(2a)－(lna)x「x＝2～6」
＝(6ln6－18/a－6lna)－(2ln2－2/a－2lna)
＝(6ln6－2ln2)－16/a－4lna
上式中a∈[2，6]
为使S最小，则g(a)＝16/a＋4lna应最大
g'(a)＝－16/a²＋4/a＝(－4)(4－a)/a²
可见2＜a＜4时，g'(a)＜0，g(a)递减
4＜a＜6时，g'(a)＞0，g(a)递增
所以g(a)可能的最大值为g(2)或g(6)
g(2)＝8＋4ln2≈10.77
g(6)＝8/3＋4ln6≈9.83
可见g(2)最大
所以在x＝2处的切线y＝(1/2)x－(1－ln2)使该面积最小