Question

求助一道高等代数多项式的问题

证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数

Answer 1

若n=2m
f(x)=(x^(8m+4)-1)/(x^4-1)
=(x^(4m+2)-1)(x^(4m+2)+1)/(x^4-1)
=(1+x^2+x^4+...+x^4m)(x^(4m+2)+1)/(x^2+1)
=g(x)*[(x^2)^(2m+1)+1]/(x^2+1),而x^2+1整除[(x^2)^(2m+1)+1]，所以g(x)整除f(x).

反过来,一个反例即可：n=1时g(x)=1+x^2,f(x)=1+x^4，g(x)不整除f(x).
证毕。