Question

1.若直角三角形周长为1，求它的面积的最大值． 2．若直角三角形的内切圆半径为1，求它面积的最小值．

Answer 1

1.设直角三液镇孝角形两边边长闹稿分别为x,y，可以看作是各以其边做x轴,y轴
则斜边长为开√（x^2+y^2)
∴x+y+√(x^2+y^2)=1
∵x+y>=2√(xy)
x^2+y^2>=2xy
∴a=x+y+√(x^2+y^2)>=（2+√2）旅败*√(xy)
于是得到√xy<=1/(2+√2)=(2-√2）/2
∴S=xy/2，当x=y时，最大值S=xy/2=(3-2√2)/4

2.设两直角边为x,y,则斜边为x+y-2(x,y均大于1)
勾股定理得
x^2+y^2=(x+y-2)^2
解得y=(2x-2)/(x-2)
S=xy/2=x*(2x-2)/(x-2)=(2(x-2)+4/(x-2)+6)/2
>=2√2+3
∴最小值为2√2+3