Question

判断函数f(x)=ax/x²-1在（-1，1）上的单调性（a为常数，且a≠0）

Answer 1

任取实数x1,x2, -1<x1<x2<1,
f(x1)- f(x2)= ax1/(x1²-1)- ax2/(x2²-1)
= [ax1(x2²-1)- ax2(x1²-1)]/[ (x1²-1) (x2²-1)]
=[ ax1x2(x2-x1)-a(x1-x2)]/[ (x1²-1) (x2²-1)]
=[a(x2-x1)(x1x2+a)] /[ (x1²-1) (x2²-1)]
∵-1<x1<x2<1，
∴x2-x1>0, x1²-1<0, x2²-1<0, -1<x1•x2<1.
a≥1时，x1•x2+a>0.
[a(x2-x1)(x1x2+a)] /[ (x1²-1) (x2²-1)]>0, f(x1)- f(x2) >0,
此时f(x) 在（-1，1）上单调递减。
同理a≤-1时，x1•x2+a<0.
[a(x2-x1)(x1x2+a)] /[ (x1²-1) (x2²-1)]>0, f(x1)- f(x2) >0,
此时f(x) 在（-1，1）上单调递减。