Question

一个不等式证明

已知n∈N+，求证：(2n+1)^n≥(2n)^n+(2n-1)^n
下面是我的证明，
加强命题：已知p≤n，求证：(2p+1)^n≥(2p)^n+(2p-1)^n ①
对n用归纳法
n=1时显然成立
(2p+1)^(n+1)=(2p+1)^n*(2p+1)
≥[(2p)^n+(2p-1)^n]*(2p+1)
＞(2p)^(n+1)+(2p-1)^(n+1)
成立，所以命题①成立
令p=n，原不等式得证

请问这样归纳是否合理

Answer 1

是不合理的。
前面都没有问题，关键是你的归纳法并没有证明出来p≤n时 ①成立。
来仔细分析一下，你的归纳法中，（你写得不大规范，我给你改成了严格一点的形式来分析错误）你假设当n=k时，对于p≤k， ①成立，来证明n=k+1时，对于p≤k+1,(2p+1)^(k+1)≥(2p)^(k+1)+(2p-1)^(k+1)成立。但是你的证明中只证出来了对于p≤k时，(2p+1)^(k+1)≥(2p)^(k+1)+(2p-1)^(k+1)成立（因为你利用了假设条件，而假设条件仅限于当p≤k时成立），而当p=k+1时式子是否成立根本没有给出证明。
后面你又说令p=n，明显错误。相当于根本没有证明。

Answer 2

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥ [n的第一个值]，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

即先证明n=1时，(2n+1)^n≥(2n)^n+(2n-1)^n成立
然后证明n=k（k≥ 1，k为自然数）时，不等式成立，然后再证明当n=k+1时也成立，不等式得证。

Answer 3

证n+1的时候，用归纳假设只能证明p=1,2....n的情况。并没有证明p=n+1的情况
所以这是错误的证明

正确做法。只需要用二项式定理展开，作差就可以（很简单，但是数学符号表达困难，这给你自己去尝试）