Question

设直角三角形三边之和为定值P，试求这个直角三角形的最大面积

Answer 1

设直角三角形三边分别为a、b、c，其中a和b为直角边。
则按题目有P=a+b+c，a^2+b^2=c^2

因为ab≤（a^2+b^2）/2，当且仅当a=b时，ab取最小值（a^2+b^2）/2
因为直角三角形面积S=ab/2
则S=ab/2≤（a^2+b^2）/4，当且仅当a=b时，S取最小值
在直角三角形中，当直角边a=b时S取最小值。
当a=b时，c=√2*a
则P=a+b+c=（1+√2）c，则c=P/（1+√2）
故S最小值=（a^2+b^2）/4=c^2/4=[P/（1+√2）]^2/4=P^2/[4*(3+2√2)]
化简可得，S最小值=P^2*（3-2√2）/4

Answer 2

（3-2倍根号2）除以4，再乘以P的平方