求根号下x(x-2)的不定积分

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茹翊神谕者

2023-08-25 · 奇文共欣赏,疑义相与析。
茹翊神谕者
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简单分析一下,详情如图所示

bp309905256
2016-12-24 · TA获得超过6141个赞
知道大有可为答主
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tllau38
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2016-12-24 · 关注我不会让你失望
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∫ √[x(x-2)] dx

x(x-2)
=x^2-2x
=(x-1)^2 -1

let
x-1= secu
dx = secu.tanu du

∫ √[x(x-2)] dx
= ∫ secu. (tanu)^2 du
= ∫ secu. [(secu)^2 -1 ] du
= ∫ [(secu)^3 -secu ] du
= ∫ (secu)^3 du - ln|secu + tanu|
=(1/2) [secu.tanu + ln|secu+tanu|] - ln|secu + tanu| +C
=(1/2) [secu.tanu - ln|secu+tanu|] +C
=(1/2) [(x-1).√[x(x-2)] - ln|x-1+√[x(x-2)] |] +C

consider
∫ (secu)^3 du
=∫ secu dtanu
=secu.tanu - ∫ secu. (tanu)^2 du
=secu.tanu - ∫ secu. [(secu)^2 -1] du
2∫ (secu)^3 du = secu.tanu + ∫ secu du
∫ (secu)^3 du = (1/2) [secu.tanu + ln|secu+tanu|] + C'
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