Question

矩阵A的平方为零，为什么必有行列式为零

Answer 1

要a是一个三阶行列式才是。a^(-1)=a^*/|a|,|a^*|=||a|*a^(-1)|，a的行列式是一个数提出去就可以了，然后a的逆的行列式等于其行列式的倒数。

A^2=0

两边同时取行列式

(detA)^2=0

=>detA=0

相关定理：

定理1：设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。

定理2：设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3：令A为n×n矩阵。

（1）若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

（2）若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

Answer 2

要a是一个三阶行列式才是。a^(-1)=a^*/|a|,|a^*|=||a|*a^(-1)|，a的行列式是一个数提出去就可以了，然后a的逆的行列式等于其行列式的倒数。

A^2=0

两边同时取行列式

(detA)^2=0

=>detA=0

扩展资料：

只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

 令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

参考资料来源：百度百科-矩阵行列式

Answer 3

要a是一个三阶行列式才是。a^(-1)=a^*/|a|,|a^*|=||a|*a^(-1)|,a的行列式是一个数提出去就可以了，然后a的逆的行列式等于其行列式的倒数

Answer 4

(1)一个矩阵的平方为0矩阵,那么这个矩阵是什么矩阵?
(2)一个矩阵的立方是0矩阵的立方是0矩阵,这矩阵又是什么

一个通用结果:这样的矩阵的行列式为0值;或者说必有至少一个特征值为0
我只得到了情况(1)的特例,供参考.
对于2阶方阵A,如果A的迹(主对角线之和,trace(A),下简记为tr(A))=0且A的行列式det(A)=0
那么AA=0,自然AAA=0.
易于验证,此时AA=tr(A)*A.
例如,A=
-2 -4
1 2
外一则:
考虑对角化分解:A=PΛP_,其中P,P_互为广义逆.
那么A^n=P*Λ^n*P_
好久没有复习矩阵论了.
外一则:
对于非方阵,如何讨论乘积?
在百度文库或百度网页搜索
幂零矩阵
幂零
可以得到很多相关资料.