利用定积分性质证明
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x^n·sinx<x^n·x=x^(n+1)
∫(-a,a)x^n·sinxdx
=2∫(0,a)x^n·sinxdx
<2∫(-0,a)x^(n+1)dx
=2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,a)
<2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,1)
=2/(n+2)
上式当n→∞时趋向于0
根据夹逼定理易知原式成立。
∫(-a,a)x^n·sinxdx
=2∫(0,a)x^n·sinxdx
<2∫(-0,a)x^(n+1)dx
=2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,a)
<2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,1)
=2/(n+2)
上式当n→∞时趋向于0
根据夹逼定理易知原式成立。
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x∈(0,π/2)
sinx < x
∫ (0->π/2) sinx/x dx < ∫ (0->π/2) dx = π/2
x∈(0,π/2)
sinx/x >0
∫ (0->π/2) sinx/x dx >0
ie
0π/2) sinx/x dx < π/2
sinx < x
∫ (0->π/2) sinx/x dx < ∫ (0->π/2) dx = π/2
x∈(0,π/2)
sinx/x >0
∫ (0->π/2) sinx/x dx >0
ie
0π/2) sinx/x dx < π/2
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