Question

如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，且交于点O。求证：AC=AE+CD

如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，且交于点O。求证：AC=AE+CD

Answer 1

在AC上取点F，使AF=AE

∵AD是角A的平分线

∴角EAO＝角FAE

∵AO=AO

∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）

∴EO=FO ，角AOE＝角AOF

∵CE是角C的平分线

∴角DCO＝角FCO

∵角B＝60°

∴角A+角C＝180－60＝120°

∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度

∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60°

∴角OCF＝角COD

∵OC=OC

∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）

∴CF=CD

∴AC=AF+CF＝AE+CD

即：AE+CD=AC

Answer 2

在AC上取点F，使AF=AE，连接FO ∵AD平分角BAC ∴角EAO＝角FAE ∵AO=AO ∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等） ∴EO=FO ，角AOE＝角AOF ∵CE平分角ACB ∴角DCO＝角FCO ∵角B＝60° ∴角A+角C＝180°－60°＝120° ∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度 ∴角COF＝180°－角AOF-角COD＝180－60－60＝60° ∴角COF＝角COD ∵OC=OC ∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等） ∴CF=CD ∴AC=AF+CF＝AE+CD 即：AE+CD=AC