Question

求解一道极值问题

笨方法就是把所有可能结果依次算出来再比大小。要求不用笨方法，能否用高等数学的方法解这道题？我自己算的时候，发现无论如何设，一阶导数都为常数，无法令其等于零，不知如何解。

Answer 1

这是七年级上学期的数学题，你打算用高等数学，是不是有点那啥（*^*）。。
全部租甲车 4 辆，每天费用 4*300 = 1200 元，
全部租乙车 7 辆，每天费用 7*200 = 1400 元 ，
另有（甲，乙）=（3，1），费用 3*300 + 200 = 1100 元，
（甲，乙）=（2，3），费用 2*300 + 3*200 = 1200 元，
（甲，乙）=（1，5），费用 1*300 + 5*200 = 1300 元，
综上，租 3 辆甲车 1 辆乙车最合算 。
高数的话，设甲车 x 辆，则乙车 7-2x，
费用 300x + 200(7-2x) = 1400-100x，
导数 = -100 < 0 ，说明是 x 的减函数，x 越大费用越少，
由于 0≤x≤3，因此 x =3 时最合算。

追问

老师厉害，这的确是义务教育阶段的题，我想用不同的方法解。说说高数那里，没算出费用之前，x理论上可以取到4吧？什么因素限制了x最大只能取到3呢？毕竟，可载人数超过28也是可行方案不是吗？

Answer 2

设租甲乙两种车各x辆、y辆，总租车费用为z元
8x+4y=28
2x+y=7
y=7-2x
∵y>=0
∴7-2x>=0
x<=3.5
∵x∈Z
∴x<=3
∵x>=0
∴0=<x<=3
z=300x+200y
=300x+200(7-2x)
=1400-100x
当x=3时，z取得最小值：zmin=1400-100×3=1100
此时，y=7-2×3=1
即：当租用3辆甲车、1辆乙车时，费用最少。