Question

计算曲面积分I= 其中Σ是曲面2x^2+2y^2+z^2=4的外侧

计算曲面积分∮∮∑xdydz+ydzdx+zdxdy/(x^2+y^2+z^2)^3/2,其中∑是曲面2x^2+2y^2+z^2=4的外侧

Answer 1

题目中最后一项应该是dxdy
被平面∑1：z=0,x²+y²≤1,下侧,则∑+∑1为封闭曲面
用高斯高公式
∫∫(∑+∑1) 2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy
=∫∫∫ (6x²+6y²+6z²) dxdydz
球坐标
=6∫∫∫ r^4sinφ drdφdθ
=6∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]sinφdφ∫[0→1] r^4 dr
=12π(1/5)
=12π/5
下面减去∑1的积分：
∫∫∑1 2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy
=∫∫ 3 dxdy D：x²+y²≤1
=3π
最终结果为：12π/5 - 3π = -3π/5

追问

Σ取的外侧 是怎样和Σ1构成封闭曲面的啊？