Question

若二次函数f(x)=x^2+ax+b,对于任意的实数x

若二次函数f(x)=x^2+ax+b,对于任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立。
（1）求实数a的值
（2）求证：函数f(x)在区间【1，+∞）上是增函数

Answer 1

f(1+x)=(1+x)^2+a(1+x)+b
f(1-x)=(1-x)^2+a(1-x)+b
所以(1+x)^2+a(1+x)+b=(1-x)^2+a(1-x)+b
1+2x+x^2+a+ax+b=1-2x+x^2+a-ax+b
(4+2a)x=0
恒成立
所以4+2a=0
a=-2

f(x)=x^2-2x+b
令m>n>=1
则f(m)-f(n)=m^2-2m+b-n^2+2n-b
=(m^2-n^2)-2(m-n)
=(m+n)(m-n)-2(m-n)
=(m-n)(m+n-2)
m>1,n>=1
所以m+n>2,m+n-2>0
m>n,m-n>0
所以(m-n)(m+n-2)>0
f(m)-f(n)>0
即当m>n>=1时
f(m)>f(n)
所以f(x)在区间[1,正无穷）上是增函数

Answer 2

(1)f(1+x)=f(1-x)有f(1-1)=f(1+1)即f(0)=f(2)
f(0)=b,f(2)=4+2a+b,a=-2
(2)取1≤x1＜x2
f(x1)-f(x2)=x1²-2x1+b-x2²+2x2-b=x1²-x2²-2(xi-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1＜x2,1≤x1＜x2，2＜x1+x2∴原式＜0
因此是增函数

Answer 3

f(x)关于x=3对称，即对称轴为x=3，又开口向上，故f(3)最小，因5离3比2离3要远，结合图象可知：f(5)>f(2)
故f(5)>f(2)>f(3)
选a