Question

已知二次函数F(X)=X^2+aX+b(a,b∈实数）

1）若关于X的方程F（X)=0没有实根，求证：b>0;
2）若关于X的方程F（X)=0有两个实根，且两实根是相邻的两整数，求证：F（-a)=1/4(a^2-1);
3)若方程F（X)=0有两非整数实根，且这两实根在相邻两整数之间，试证明：存在整数K，使得|F(K)|≤1/4.

Answer 1

1.因为方程无实根，所以判别式a^2-4b<0,得b>a^2/4>=0,所以b>0
2.(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=a^2-4b=1
所以F（-a)=a^2-a^2+b=b=1/4(a^2-1)
3.因为方程有两实根，所以判别式a^2-4b>0
设G（x)=F（x)-1/4=x^2+ax+b-1/4,则判别式a^2-4(b-1/4)=a^2-4b+1>0所以G(x)=0有两个实根x1,x2
(x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1x2=a^2-4b+1>1,所以x1-x2的绝对值大于1，所以在x1,x2之间必有一整数k,使得G(k)<0,即F(k)<1/4,而对任意整数x都有F(x)>0，所以0<F(k)<1/4,得证

Answer 2

1）由根的判别式知：a^2 - 4b<0
所以 b>a^2/4>=0
所以 b>0;
2）设两根为n和n+1
所以F（n）= n^2 + an + b = 0
F（n+1）= （n+1）^2 + a（n+1）+ b =0
两式联立消掉n可得 b = 1/4(a^2-1)
所以F（-a）= （-a）^2 + a（-a）+b
= b = 1/4(a^2-1);
3）暂时还没想出来

Answer 3

好简单啊~自己想想就知道了！！